OPERACIONES LÓGICAS (Negación, Conjunción y Disyunción)

“La lógica es una gramática profunda de lo racional” (Patrick K. Bastable)

“La lógica nació como un intento de mecanizar los procesos intelectivos del razonamiento” (Douglas Hofstadter)

“La lógica se ocupa solo de la forma pura del pensamiento” (Kant)

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Introducción

• Las operaciones lógicas Negación, Conjunción y Disyunción son operaciones derivadas. Todas derivan de las primitivas. La única operación lógica “pura” es la primitiva Condición.
  
  
• Las operaciones lógicas en MENTAL se aplican a todo tipo de expresiones. El resultado de las operaciones lógicas Negación, Conjunción y Disyunción es siempre un valor existencial (θ o α).

Negación Lógica
Semántica y sintaxis

La negación lógica de una expresión x es el contrario de su valor existencial (θ o α).


Definición

⟨( ¬x = (x?)' )⟩ o bien

⟨( ¬x = (α ←' x? → θ) )⟩

Ejemplos

1. ¬3 // ev. θ
   
   
2. ¬(3=4) // ev. α

Conjunción y Disyunción Lógicas
Semántica y sintaxis

La conjunción lógica (simbolizada por ∧) de dos expresiones es θ si el valor existencial de uno de ellos es θ, y α en caso contrario.

La disyunción lógica (simbolizada por ∨) de dos expresiones es α si el valor existencial de uno de ellos es α, y θ en caso contrario.

Ambas operaciones son duales y son análogas a las conectivas de la lógica clásica, donde θ desempeña el papel de “falso” y α el papel de “verdadero”. Ambos valores existenciales son contrarios entre sí: (α' = θ) y (θ' = α).

Las tablas existenciales, análogas a las tablas de verdad de la lógica clásica, son:

x	y	x∧y	x∨y
α	α	α	α
α	θ	θ	α
θ	α	θ	α
θ	θ	θ	θ

Definiciones

⟨( x∧y = (x? ← y?) )⟩ // Conjunción

⟨( x∧y = (α ← x ← y) )⟩ // Definición equivalente

⟨( x∨y = {x? y?}↓ )⟩ // Disyunción

La dualidad se expresa así: (∨' = ∧) y, por lo tanto, (∨' = ∧).


Ejemplos

1. 3∧4 // ev. α
   
   
2. 3∨4 // ev. α
   
   
3. (4<3)∧(3<4) // ev. θ
   
   
4. (4<3)∨(3<4) // ev. α
   
   
5. (x° = 7) (y° = θ)
(x∧y) // ev. θ
(x∨y) // ev. α

Propiedades

Se cumplen todas las propiedades conocidas de la lógica clásica, entre ellas, las leyes de De Morgan, las conmutativas, las distributivas. Todas estas leyes son duales. Una propiedad se obtiene de otra intercambiando los operadores lógicos de conjunción y disyunción.

1. Conmutativas.
   ⟨( (x∧y) ≡ (y∧x) )⟩
⟨( (x∨y) ≡ (y∨x) )⟩
   
   
2. Leyes de De Morgan.
   ⟨( ¬(x∧y) ≡ (¬x ∨ ¬y) )⟩
⟨( ¬(x∨y) ≡ (¬x ∧ ¬y) )⟩
   
   
3. Distributivas.
   ⟨( (x∧y)∨z ≡ (x∧z)∨(y∧z) )⟩
⟨( (x∨y)∧z ≡ (x∨z)∧(y∨z) )⟩
   
   
4. Con expresión nula.
   ⟨( x∧θ = θ )⟩
⟨( x∧α = x? )⟩
⟨( x∨θ = x? )⟩
⟨( x∨α = α )⟩